Л.И. ДВОРКИН, доктор техн. наук, проф., О.Л. ДВОРКИН, доктор техн. наук, проф., Национальный университет водного хозяйства и природопользования, г. Ровно, Украина

Рассматриваются технические и технико-экономические критерии оптимизации структуры и состава бетона.

Фундаментальной базой бетоноведения являются теоретические представления о взаимосвязи параметров структуры и состава бетона с его свойствами.

Структурная теория бетона начиная с XIX-го столетия разрабатывалась многими исследователями, однако, учитывая сложность бетона как полиструктурной физико-химической системы, непрерывно изменяющейся во времени и активно взаимодействующей с окружающей средой, она еще далека от завершения. Определенный положительный вклад в развитие структурной теории бетона внесла теория искусственных строительных конгломератов (ИСК), основы которой разработаны проф. И.А. Рыбьевым [1, 2].

К главным закономерностям теории ИСК следует отнести закон створа, утверждающий, что оптимальной структуре соответствует комплекс экстремальных значений свойств искусственных конгломератов, к которым можно отнести бетон. Отношение к этому закону различных исследователей нельзя назвать однозначным, оно колеблется от его полного признания до полного отрицания. В обоих случаях всесторонне не учитывается совокупность принимаемых исходных материаловедческих предпосылок, что часто приводит к недостаточно объективным или ошибочным выводам.

Позитивное значение закона створа для бетоноведения заключается в том, что он, во-первых, констатирует объективные взаимосвязи различных свойств бетона как между собой, так и с соответствующими параметрами структуры и состава и, во-вторых, утверждает необходимость совпадения наилучших значений показателей свойств при некоторых определенных значениях структурных параметров.

Вместе с тем недостаточная убедительность принимаемых в теории ИСК представлений об «оптимальной структуре» и постулирование обязательной экстремальности и совпадения экстремумов для всего комплекса свойств бетона при определенной его структуре снижают значение закона створа как общей закономерности структурной теории.

В теории ИСК оптимальной называют структуру с равномерно распределенными в ней частицами (фазами, компонентами, порами и др.), низким содержанием дефектов, непрерывной прослойкой пространственной сетки матрицы затвердевшего вяжущего при минимально возможном фазовом (для бетона – водоцементном) отношении. Критерием оптимизации структуры по И.А. Рыбьеву является достижение комплекса экстремальных значений свойств.

Вместе с тем существует достаточно много технических и технико-экономических критериев оптимизации структуры и состава бетона. Некоторые из них приведены в таблице.

Таблица 1

Основные критерии оптимальности при проектировании составов и структуры бетона

Показатель свойства (комплекса, соотношения свойств) бетонной смеси или бетона (Р i):

, где Рi – подвижность бетонной смеси, прочность, морозостойкость, усадка бетона и др.

Отношение показателей свойства для анализируемого бетона (Р i) и бетона эталонного состава (структуры) (Ро): .

Отношение показателей свойства бетона (Рi) к удельному расходу материального или энергетического ресурса, необходимого для его изготовления (Х):

, где Х - расход цемента, заполнителей, добавок, тепловой, электрической энергии и др.

Продолжение табл. 1

Удельный расход ресурса (на 1 м3 бетонной смеси, конструкции, сооружения):

.

Отношение удельного расхода ресурса к показателю свойства бетона:

.

Удельный стоимостной показатель*:

, где С – стоимость 1 м3 бетона, конструкции, сооружения; стоимость ресурсов; прибыль; приведенные затраты и др.

Отношение удельных стоимостных показателей для анализируемого бетона и бетона эталонного состава (структуры) (С о)*: .

Отношение удельных стоимостных показателей и показателей свойств (или наоборот) *:

(или ).

Примечание: *Критерий оптимальности рассматривается при обязательном обеспечении заданных показателей свойств.

Наиболее характерными при оптимизации структуры бетона являются задачи, предполагающие достижение не абсолютного, а условного экстремума значения критерия при заданных ограничениях (например, минимально возможной объемной концентрации цементного камня при нормируемых значениях прочности бетона, удобоукладываемости бетонной смеси и др.). В теории ИСК такие структуры выделяют из оптимальных и называют рациональными. Очевидно, при правильном формулировании условий оптимальности оптимальные структуры всегда являются рациональными. Качественные признаки оптимальных структур бетона также определяются как предъявляемым комплексом требований к нему, так и условиями оптимальности. Например, для морозостойких бетонов оптимальная структура должна характеризоваться необходимым соотношением условно-замкнутых и открытых пор. Количественные значения параметров структуры бетона зависят от нормируемых показателей свойств, особенностей исходных материалов, режима твердения, добавок и др. (рис. 1).

 

Разнообразие возможных вариантов постановки задач оптимизации обусловливает и многообразие оптимальных структур, отличающихся качественными особенностями, количественными соотношениями основных фаз, межфазными взаимодействиями. Проектирование оптимальной структуры бетона в конечном счете достигается проектированием его оптимального состава.
Закон створа предполагает в качестве ключевого параметра, определяющего оптимальность структуры строительного конгломерата, его фазовое отношение Ф/С. Минимизация фазового отношения Ф/С в соответствии с теорией ИСК направлена на максимально возможное увеличение плотности матричной составляющей конгломерата и соответствующее улучшение его свойств. Для цементных бетонов фазовым служит водоцементное отношение (В/Ц), и оптимизация структуры при В/Ц→min возможна и во многих случаях целесообразна при необходимости достижения максимально возможных значений прочностных и других однозначно связанных с ними свойств.

Однако при минимизации расхода цемента (Ц→min) и обеспечении заданных проектных показателей свойств бетона соотношение В/Ц, как правило, остается постоянным или даже может повышаться (например, за счет вовлеченного воздуха при нормировании прочности и морозостойкости бетона). При этом задачи оптимизации структуры и соответственно состава бетона реализуются за счет выбора цемента и других исходных материалов смесей с пониженной водопотребностью, введения добавок, подбора зернового состава заполнителей и др.

Минимизацию В/Ц при сохранении непрерывности матричной сетки нельзя считать универсальным признаком оптимальных структур и при необходимости достижения максимального (минимального) значения показателей свойств, определяемых плотностью цементного камня. Для бетонов увеличение плотности цементного камня достигается не только при В/Ц→min, но и при В/Ц=const, когда возрастает степень гидратации цемента a. Это следует из расчетного выражения плотности цементного камня [3] Х:

(1)

где kг - коэффициент увеличения объема продуктов гидратации цемента, (k г=2,09…2,2); Vу.ц - удельный объем цемента (Vу.ц=1/ρц=0,319 см3/г).

Изменение величины α достигается выбором вида цемента, добавок, режима твердения и др.

Для ряда свойств бетона плотность цементного камня и соответственно В/Ц не является определяющим или является не единственным определяющим структурным параметром.

Этот вывод иллюстрируется анализом известных расчетных зависимостей, некоторые из которых приведены в табл. 2.

В задачах проектирования оптимальных составов бетона с комплексом различных свойств (многопараметрическое проектирование составов бетона) приходится учитывать, что ряд свойств бетона неоднозначно связан с прочностными свойствами и, следовательно, с В/Ц, а ряд свойств бетона определяется другими параметрами состава.

Таблица 2

Расчетные зависимости свойств бетонной смеси и бетона

Свойства бетонной смеси и бетона

Расчетная формула

Условные обозначения

Удобоукладываемость бетонной смеси [4]

 

С - константа; В - водосодержание смеси; К - показатель степени (К »8,5)

Водопотребность бетонной смеси [5]

В=60+40К+0,07Sщ+

+5Вп+1,5Н.Г

ОК - осадка конуса, см; Sщ - удельная поверхность щебня, м 2/м3; Вп - водопотребность песка, %; Н.Г - нормальная густота цемента, %

Мера ползучести бетона [6]

 

К - константа; В – расход воды, л/м 3; Rсж - прочность бетона

Усадка бетона [6]

 

Модуль упругости бетона [6]

 

mк - относительное массовое содержание цементного камня в бетоне

Под створом, как известно, в технической терминологии понимается некоторое предсказуемое положение объектов на одной прямой линии. В первой редакции закона створа [1] утверждалось, что оптимальной структуре соответствует комплекс наиболее благоприятных показателей строительных и эксплуатационных свойств конгломерата. С такой самой общей формулировкой можно согласиться. Действительно, свойства строительных конгломератов в т.ч. и бетона являются следствиями или «откликами» их структуры и оптимизация структуры всегда направлена на достижение комплекса наиболее благоприятных свойств. При этом, однако, нельзя забывать, что под комплексом «наиболее благоприятных свойств» следует понимать комплекс наиболее приемлемых показателей свойств материалов при заданных условиях оптимальности. Например, при необходимости достижения наиболее высокой прочности бетона значения комплекса «наиболее благоприятных» показателей других свойств могут отличаться от таковых при оптимизации структуры бетона из условия достижения максимальной морозостойкости. Этот вывод основывается на неодинаковом уровне корреляции связи свойств бетона с различными параметрами его структуры.

В своем более позднем определении закона створа И.А. Рыбьев заменил понятие «наиболее благоприятные» свойства понятием «экстремальные значения» свойств [2].

Экстремум показателей ряда свойств бетона может быть обусловлен, например, некоторым минимально возможным значением В/Ц, при котором достигается минимальная и в то же время непрерывная прослойка матричной фазы (цементного камня) на зернах заполнителя. Для бетона это возможно, как правило, лишь в тех случаях, когда не нормируется удобоукладываемость бетонной смеси, определяющая толщину прослойки цементного камня.

Однако экстремальность при изменении В/Ц и объемного соотношения цементного камня и заполнителей для свойств бетона или наблюдается при определенных условиях (предельная для заданного способа уплотнения удобоукладываемость смеси и др.), или вообще не имеет места. Например, усадка бетона и его экзотермия непрерывно уменьшаются с увеличением объемного содержания заполнителей (V з). Показатели этих свойств можно рассчитать по формулам [6]:

, (2)

где - усадка цементного камня, мм/м; Q – экзотермия бетона, кДж/м3; q t - удельное тепловыделение цемента, кДж/кг; n - показатель степени.

 

При оптимальной структуре материала на одной прямой, т.е. в створе оказываются максимально (минимально) возможные при заданных условиях, но не обязательно экстремальные значения комплекса свойств, однозначно связанных (вид исходных материалов, режим твердения и др.) с определенным структурным параметром. В качестве структурных наряду с В/Ц могут выступать и другие параметры (рис. 2).
Как известно из курса математического анализа [9], понятия экстремума и максимума (минимума) функции не идентичны. В точке экстремума производная функции или равна нулю, или не существует, а в точке максимума или минимума функция имеет наибольшее или наименьшее значение в некоторой окрестности данной точки.

Все свойства бетона, очевидно, можно сгруппировать не в один глобальный створ показателей, изменяющихся относительно В/Ц, а в некоторый ряд створов, каждый из которых объединяет свойства, определяемые соответствующим показателем структуры.

Выводы:

1. Применимость закона створа требует уточнения для конкретных задач условий оптимизации структуры.

2. Наряду с водоцементным отношением при оптимизации структуры бетона необходим учет ряда других структурных параметров. Число возможных створов определяется видом структурных параметров, однозначно связанных с данной группой свойств бетона.

3. При оптимальной структуре бетона «в створе» оказываются максимально (минимально) возможные при данных условиях, но не обязательно экстремальные значения комплекса свойств.

Библиографический список:

1. Рыбьев И.А. Строительные материалы на основе вяжущих веществ. - М.: Высшая школа, 1978. – 309 с.

2. Рыбьев И.А. и др. Общий курс строительных материалов. М., Высшая школа, 1987, 584 с.

3. Powers T. The physical structure of Cement and Concrete. // Cement and Lime Manufacture. V. 29, № 2, 1956. – 270 р.

4. Сорокер В.И., Довжик В.Г. Жесткие бетонные смеси в производстве сборного железобетона. - М.: Стройиздат, 1964. – 206 с.

5. Грушко И.М., Ильин А.Г., Рашевский С.Т. Прочность бетонов на растяжение. – Харьков: Изд-во ХГУ, 1973. – 155 с.

6. Берг О.В., Щербаков Е.Н., Писанко Г.Н. Высокопрочный бетон.- М.: Стройиздат, 1971. – 208 с.

7. Дворкин Л.И., Дворкин О.Л. Основы бетоноведения. – С-Пб: Строй Бетон, 2006. – 692 с.

8. Баженов Ю.М. Технология бетона. – М.: Высшая школа, 1987. – 449 с.

9. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. - М.: Стройиздат 1971. – 208 с.анализ основных положений закона створа теории ИСК

Л.И. ДВОРКИН, доктор техн. наук, проф., О.Л. ДВОРКИН, доктор техн. наук, проф., Национальный университет водного хозяйства и природопользования, г. Ровно, Украина

Рассматриваются технические и технико-экономические критерии оптимизации структуры и состава бетона.

Фундаментальной базой бетоноведения являются теоретические представления о взаимосвязи параметров структуры и состава бетона с его свойствами.

Структурная теория бетона начиная с XIX-го столетия разрабатывалась многими исследователями, однако, учитывая сложность бетона как полиструктурной физико-химической системы, непрерывно изменяющейся во времени и активно взаимодействующей с окружающей средой, она еще далека от завершения. Определенный положительный вклад в развитие структурной теории бетона внесла теория искусственных строительных конгломератов (ИСК), основы которой разработаны проф. И.А. Рыбьевым [1, 2].

К главным закономерностям теории ИСК следует отнести закон створа, утверждающий, что оптимальной структуре соответствует комплекс экстремальных значений свойств искусственных конгломератов, к которым можно отнести бетон. Отношение к этому закону различных исследователей нельзя назвать однозначным, оно колеблется от его полного признания до полного отрицания. В обоих случаях всесторонне не учитывается совокупность принимаемых исходных материаловедческих предпосылок, что часто приводит к недостаточно объективным или ошибочным выводам.

Позитивное значение закона створа для бетоноведения заключается в том, что он, во-первых, констатирует объективные взаимосвязи различных свойств бетона как между собой, так и с соответствующими параметрами структуры и состава и, во-вторых, утверждает необходимость совпадения наилучших значений показателей свойств при некоторых определенных значениях структурных параметров.

Вместе с тем недостаточная убедительность принимаемых в теории ИСК представлений об «оптимальной структуре» и постулирование обязательной экстремальности и совпадения экстремумов для всего комплекса свойств бетона при определенной его структуре снижают значение закона створа как общей закономерности структурной теории.

В теории ИСК оптимальной называют структуру с равномерно распределенными в ней частицами (фазами, компонентами, порами и др.), низким содержанием дефектов, непрерывной прослойкой пространственной сетки матрицы затвердевшего вяжущего при минимально возможном фазовом (для бетона – водоцементном) отношении. Критерием оптимизации структуры по И.А. Рыбьеву является достижение комплекса экстремальных значений свойств.

Вместе с тем существует достаточно много технических и технико-экономических критериев оптимизации структуры и состава бетона. Некоторые из них приведены в таблице.

Таблица 1

Основные критерии оптимальности при проектировании составов и структуры бетона

Показатель свойства (комплекса, соотношения свойств) бетонной смеси или бетона (Р i):

, где Рi – подвижность бетонной смеси, прочность, морозостойкость, усадка бетона и др.

Отношение показателей свойства для анализируемого бетона (Р i) и бетона эталонного состава (структуры) (Ро): .

Отношение показателей свойства бетона (Рi) к удельному расходу материального или энергетического ресурса, необходимого для его изготовления (Х):

, где Х - расход цемента, заполнителей, добавок, тепловой, электрической энергии и др.

Продолжение табл. 1

Удельный расход ресурса (на 1 м3 бетонной смеси, конструкции, сооружения):

.

Отношение удельного расхода ресурса к показателю свойства бетона:

.

Удельный стоимостной показатель*:

, где С – стоимость 1 м3 бетона, конструкции, сооружения; стоимость ресурсов; прибыль; приведенные затраты и др.

Отношение удельных стоимостных показателей для анализируемого бетона и бетона эталонного состава (структуры) (С о)*: .

Отношение удельных стоимостных показателей и показателей свойств (или наоборот) *:

(или ).

Примечание: *Критерий оптимальности рассматривается при обязательном обеспечении заданных показателей свойств.

Наиболее характерными при оптимизации структуры бетона являются задачи, предполагающие достижение не абсолютного, а условного экстремума значения критерия при заданных ограничениях (например, минимально возможной объемной концентрации цементного камня при нормируемых значениях прочности бетона, удобоукладываемости бетонной смеси и др.). В теории ИСК такие структуры выделяют из оптимальных и называют рациональными. Очевидно, при правильном формулировании условий оптимальности оптимальные структуры всегда являются рациональными. Качественные признаки оптимальных структур бетона также определяются как предъявляемым комплексом требований к нему, так и условиями оптимальности. Например, для морозостойких бетонов оптимальная структура должна характеризоваться необходимым соотношением условно-замкнутых и открытых пор. Количественные значения параметров структуры бетона зависят от нормируемых показателей свойств, особенностей исходных материалов, режима твердения, добавок и др. (рис. 1).

 

Разнообразие возможных вариантов постановки задач оптимизации обусловливает и многообразие оптимальных структур, отличающихся качественными особенностями, количественными соотношениями основных фаз, межфазными взаимодействиями. Проектирование оптимальной структуры бетона в конечном счете достигается проектированием его оптимального состава.
Закон створа предполагает в качестве ключевого параметра, определяющего оптимальность структуры строительного конгломерата, его фазовое отношение Ф/С. Минимизация фазового отношения Ф/С в соответствии с теорией ИСК направлена на максимально возможное увеличение плотности матричной составляющей конгломерата и соответствующее улучшение его свойств. Для цементных бетонов фазовым служит водоцементное отношение (В/Ц), и оптимизация структуры при В/Ц→min возможна и во многих случаях целесообразна при необходимости достижения максимально возможных значений прочностных и других однозначно связанных с ними свойств.

Однако при минимизации расхода цемента (Ц→min) и обеспечении заданных проектных показателей свойств бетона соотношение В/Ц, как правило, остается постоянным или даже может повышаться (например, за счет вовлеченного воздуха при нормировании прочности и морозостойкости бетона). При этом задачи оптимизации структуры и соответственно состава бетона реализуются за счет выбора цемента и других исходных материалов смесей с пониженной водопотребностью, введения добавок, подбора зернового состава заполнителей и др.

Минимизацию В/Ц при сохранении непрерывности матричной сетки нельзя считать универсальным признаком оптимальных структур и при необходимости достижения максимального (минимального) значения показателей свойств, определяемых плотностью цементного камня. Для бетонов увеличение плотности цементного камня достигается не только при В/Ц→min, но и при В/Ц=const, когда возрастает степень гидратации цемента a. Это следует из расчетного выражения плотности цементного камня [3] Х:

(1)

где kг - коэффициент увеличения объема продуктов гидратации цемента, (k г=2,09…2,2); Vу.ц - удельный объем цемента (Vу.ц=1/ρц=0,319 см3/г).

Изменение величины α достигается выбором вида цемента, добавок, режима твердения и др.

Для ряда свойств бетона плотность цементного камня и соответственно В/Ц не является определяющим или является не единственным определяющим структурным параметром.

Этот вывод иллюстрируется анализом известных расчетных зависимостей, некоторые из которых приведены в табл. 2.

В задачах проектирования оптимальных составов бетона с комплексом различных свойств (многопараметрическое проектирование составов бетона) приходится учитывать, что ряд свойств бетона неоднозначно связан с прочностными свойствами и, следовательно, с В/Ц, а ряд свойств бетона определяется другими параметрами состава.

Таблица 2

Расчетные зависимости свойств бетонной смеси и бетона

Свойства бетонной смеси и бетона

Расчетная формула

Условные обозначения

Удобоукладываемость бетонной смеси [4]

 

С - константа; В - водосодержание смеси; К - показатель степени (К »8,5)

Водопотребность бетонной смеси [5]

В=60+40К+0,07Sщ+

+5Вп+1,5Н.Г

ОК - осадка конуса, см; Sщ - удельная поверхность щебня, м 2/м3; Вп - водопотребность песка, %; Н.Г - нормальная густота цемента, %

Мера ползучести бетона [6]

 

К - константа; В – расход воды, л/м 3; Rсж - прочность бетона

Усадка бетона [6]

 

Модуль упругости бетона [6]

 

mк - относительное массовое содержание цементного камня в бетоне

Под створом, как известно, в технической терминологии понимается некоторое предсказуемое положение объектов на одной прямой линии. В первой редакции закона створа [1] утверждалось, что оптимальной структуре соответствует комплекс наиболее благоприятных показателей строительных и эксплуатационных свойств конгломерата. С такой самой общей формулировкой можно согласиться. Действительно, свойства строительных конгломератов в т.ч. и бетона являются следствиями или «откликами» их структуры и оптимизация структуры всегда направлена на достижение комплекса наиболее благоприятных свойств. При этом, однако, нельзя забывать, что под комплексом «наиболее благоприятных свойств» следует понимать комплекс наиболее приемлемых показателей свойств материалов при заданных условиях оптимальности. Например, при необходимости достижения наиболее высокой прочности бетона значения комплекса «наиболее благоприятных» показателей других свойств могут отличаться от таковых при оптимизации структуры бетона из условия достижения максимальной морозостойкости. Этот вывод основывается на неодинаковом уровне корреляции связи свойств бетона с различными параметрами его структуры.

В своем более позднем определении закона створа И.А. Рыбьев заменил понятие «наиболее благоприятные» свойства понятием «экстремальные значения» свойств [2].

Экстремум показателей ряда свойств бетона может быть обусловлен, например, некоторым минимально возможным значением В/Ц, при котором достигается минимальная и в то же время непрерывная прослойка матричной фазы (цементного камня) на зернах заполнителя. Для бетона это возможно, как правило, лишь в тех случаях, когда не нормируется удобоукладываемость бетонной смеси, определяющая толщину прослойки цементного камня.

Однако экстремальность при изменении В/Ц и объемного соотношения цементного камня и заполнителей для свойств бетона или наблюдается при определенных условиях (предельная для заданного способа уплотнения удобоукладываемость смеси и др.), или вообще не имеет места. Например, усадка бетона и его экзотермия непрерывно уменьшаются с увеличением объемного содержания заполнителей (V з). Показатели этих свойств можно рассчитать по формулам [6]:

, (2)

где - усадка цементного камня, мм/м; Q – экзотермия бетона, кДж/м3; q t - удельное тепловыделение цемента, кДж/кг; n - показатель степени.

 

При оптимальной структуре материала на одной прямой, т.е. в створе оказываются максимально (минимально) возможные при заданных условиях, но не обязательно экстремальные значения комплекса свойств, однозначно связанных (вид исходных материалов, режим твердения и др.) с определенным структурным параметром. В качестве структурных наряду с В/Ц могут выступать и другие параметры (рис. 2).
Как известно из курса математического анализа [9], понятия экстремума и максимума (минимума) функции не идентичны. В точке экстремума производная функции или равна нулю, или не существует, а в точке максимума или минимума функция имеет наибольшее или наименьшее значение в некоторой окрестности данной точки.

Все свойства бетона, очевидно, можно сгруппировать не в один глобальный створ показателей, изменяющихся относительно В/Ц, а в некоторый ряд створов, каждый из которых объединяет свойства, определяемые соответствующим показателем структуры.

Выводы:

1. Применимость закона створа требует уточнения для конкретных задач условий оптимизации структуры.

2. Наряду с водоцементным отношением при оптимизации структуры бетона необходим учет ряда других структурных параметров. Число возможных створов определяется видом структурных параметров, однозначно связанных с данной группой свойств бетона.

3. При оптимальной структуре бетона «в створе» оказываются максимально (минимально) возможные при данных условиях, но не обязательно экстремальные значения комплекса свойств.

Библиографический список:

1. Рыбьев И.А. Строительные материалы на основе вяжущих веществ. - М.: Высшая школа, 1978. – 309 с.

2. Рыбьев И.А. и др. Общий курс строительных материалов. М., Высшая школа, 1987, 584 с.

3. Powers T. The physical structure of Cement and Concrete. // Cement and Lime Manufacture. V. 29, № 2, 1956. – 270 р.

4. Сорокер В.И., Довжик В.Г. Жесткие бетонные смеси в производстве сборного железобетона. - М.: Стройиздат, 1964. – 206 с.

5. Грушко И.М., Ильин А.Г., Рашевский С.Т. Прочность бетонов на растяжение. – Харьков: Изд-во ХГУ, 1973. – 155 с.

6. Берг О.В., Щербаков Е.Н., Писанко Г.Н. Высокопрочный бетон.- М.: Стройиздат, 1971. – 208 с.

7. Дворкин Л.И., Дворкин О.Л. Основы бетоноведения. – С-Пб: Строй Бетон, 2006. – 692 с.

8. Баженов Ю.М. Технология бетона. – М.: Высшая школа, 1987. – 449 с.

9. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. - М.: Стройиздат 1971. – 208 с.