П.М. БОНДАРЕВ, канд. физ.-мат. наук (Вестминстерский университет, Лондон), г. Калгари, Канада;

В.В. ПИСАРЕВ, инженер, ООО «УК «Индустрия Юга», г. Таганрог, Россия

Работа относится к механике деформируемого твердого тела. Показана закономерность образования напряженных зон под действием внешней нагрузки.

Разнообразие свойств материалов существенно затрудняет создание универсальной теории прочности в механике деформации твердых тел, что привело к созданию многих теорий и гипотез прочности, а также работ, рассматривающих отдельные характерные особенности разрушения (1,4-8,10-16). Из всего многообразия наибольшее признание получила теория Кулона-Мора (2,4,6,17). Кроме того, имеются отдельные примеры использования теорий прочности, основанных на критериях хрупкого разрушения, где наибольшую популярность получила теория Гриффитса (4,6,16).

Теория Кулона - Мора учитывает разрушение твердого тела в результате как сдвига, так и отрыва. Согласно этой теории прочности, разрушение материала путем сдвига происходит в случае, когда касательное напряжение τ, действующее в плоскости сдвига и зависящее от нормального к этой плоскости напряжения σ, достигает величины, определяющей прочность материала. Разрушение материала путем отрыва происходит тогда, когда наименьшее нормальное напряжение достигает величины предела прочности материала при одноосном растяжении.

Согласно теории Гриффитса, ответственными за разрушение материала считаются концентраторы напряжения типа трещин (микротрещин), включения менее прочного материала, дислокации в кристаллах и др.

Как правило, вышеупомянутые теории разрушения твердого материала рассматривают однородное плавно убывающее (рассеивающееся) от места приложения силы напряжение.

Но, как показывают эксперименты и построения на теоретических моделях с плотнейшей упаковкой частиц, поле напряжений, формирующееся в твердом теле под воздействием внешней силы, является неоднородным с резкими скачками градиентов. Следовательно, реализация приведенных теорий разрушения материалов сталкивается с неопределяемыми ситуациями.

В то же время действительность требует поиска более достоверных подходов к определению прочностных характеристик тех или иных объектов.

Авторами на основе своих экспериментальных работ, а также анализа подобных работ других авторов, анализа естественных трещин и теоретических построений, установлена закономерность распределения внешней силы в твердом теле с образованием напряженных зон. Установленная закономерность универсальная, она применима к случаям разрушения как хрупких, так и пластичных материалов. Она позволяет понять формирование напряжений под действием внешней силы как в конечных, так и бесконечных блоках твердого материала.

Наши и другие исследования показывают, что закономерность применима к жидким (21) и, как показывают предварительные исследования, газообразным средам.

Блоки твердых материалов можно представить как агрегаты, состоящие из одного или нескольких компонентов: элементов, минералов, обломков и т.п. Каждый блок является единым образованием с одинаковыми физико-механическими свойствами или с мозаично расположенными участками, обладающими различными свойствами. Это характерно для горных пород, наиболее распространенных естественных образований, с которыми осуществлялась наибольшая часть натурных наблюдений и лабораторных экспериментов.

Данные изучения естественных трещин в горных породах и результаты проводимых опытов с образцами из различных материалов свидетельствуют, что при разрушении твердых тел трещины чаще пересекают составляющие их минералы и сцементированные обломки по направлениям, не отражающим их физико-механические свойства, т.е. разрушая и более прочные из них (рис. 1).

 

Рис. 1. Разрушенный образец бетона с включениями более прочного трахидацита

Для удобства рассмотрения механизма распределения приложенной внешней силы в твердом теле нами использовалась плоская гипотетическая модель с плотнейшей упаковкой составляющих частиц. Моделирование точечной силы показывает, что нагрузка передается вглубь тела с рассеиванием, образуя конусовидную фигуру с вершиной в точке приложения силы. Это хорошо демонстрируется, например, при пробивании стены гвоздем, когда на выходе образуется отверстие с размером значительно большим, чем входное от гвоздя. Сила, приложенная к площади (площадная сила), образует в твердом теле более сложный рисунок его напряженного состояния. Здесь кроме рассеивания нагрузки по подобию с точечной силой формируется конусовидная напряженная зона (конус напряжения) с основанием, повторяющим форму плоскости, к которой приложена сила, и вершиной, располагающейся на удалении от места приложения силы - в глубине твердого тела (рис. 2).

 

Рис. 2. Распределение площадной силы Р в плоской однородной модели при сжатии, где 1 – конус напряжения
В лабораторных условиях при одноосном сжатии образцов до разрушения получаются конуса (пирамидки). Вершинная часть этих конусов всегда разрушается, в отличие от основания. Испытания проводились с образцами из различных материалов - плотных глин, песчаника, известняка, гранита, мрамора, силикатного и обычного кирпича, бетона, базальта, природных кристаллов различной сингонии и др. (в том числе и подготовленных природных кубических кристаллов галита, в которых грани располагались на месте вершин исходных кристаллов). Углы при вершинах конусов у разных материалов отличались. На боковых гранях образцов, чаще однородных и более пластичных, образовывались косые трещины, в чем-то повторяющие направление действия сил на гипотетических моделях, которые следует, по-видимому, отнести к линиям Людерса - Чернова. Важным условием при этих экспериментах было весьма точное изготовление образцов и отсутствие в них существенных нарушений.

Сравнительно однообразный характер поведения разных материалов при одноосном сжатии дает основание сделать выводы, что особенности внутреннего строения твердого тела, такие как тип кристаллической решетки, мелкие трещины, инородные включения, дислокации и другие концентраторы напряжения, имеют, по-видимому, подчиненное значение. Выявляется следующая схема разрушения тела: деформация начинается при достижении критической величины в наиболее напряженной вершинной части конуса напряжения, разрушаемый материал при этом начинает распирать боковые грани тела (образца), в результате чего тела из хрупких материалов разрушаются, а из пластичных - приобретают бочкообразный облик.

Опыты с использованием оптически активных материалов в целом подтверждают закономерность образования конусов напряжения.

Представление некоторых специалистов о том, что при одноосном сжатии наибольшее напряжение формируется на контакте штампа и образца, а разрушение не происходит по причине действия здесь сил трения, является на основе вышеизложенного неубедительным. Этот участок не является наиболее напряженным.

Некоторые исследователи для снижения действия предполагаемых сил трения при испытании образцов на одноосное сжатие обычно используют прокладки и смазки — свинец и парафин (6). Результаты таких испытаний образцов песчаника приведены в таблице № 1. При этом не учитывается, что вместо системы «штамп – образец» создается система «штамп - прокладка (смазка) – образец», в которой каждый ее элемент является равноправным при заведомо слабейшей прокладке (смазке).

Таблица № 1

 

№№ образцов	Вид испытания	Предел прочности кг/см²
1	2	3
40	Со свинцовыми прокладками	450
38	Со смазкой парафином	783
39	Без смазки и прокладок	1270
42	Без смазки и прокладок	1256

 

 

 

Прокладка (смазка) как наименее прочное звено системы под действием приложенной силы деформируется первой и выдавливается из промежутка между штампом и образцом. Выдавливаясь, прокладка (смазка) создает растягивающее для образца направление действия сил, при котором, в отличие от сжатия, материалы имеют значительно меньший предел прочности (1,7). Отмеченный факт, собственно, и продемонстрировали приведенные в таблице результаты испытаний.

Здесь можно рассмотреть трещины, сформировавшиеся в межоконных частях здания при землетрясении (рис. 3).

 

 

 

Рис. 3. Разрушение при землетрясении межоконных частей стены с хорошо видимыми конусами

Вся стена состоит из кирпичной кладки. Если межоконную часть стены принять за «образец», а части стены, расположенные выше и ниже за «штампы», то разрушение по существующим представлениям (границы нет - материал везде один и тот же) должно было бы произойти на верхнем и нижнем участках межоконных частей. Однако хорошо видно, что в межоконных частях сформировались конуса и что разрушение стены произошло в вершинах. Следует обратить внимание и на то, что кирпичную кладку вряд ли можно отнести к идеальному материалу, но характер разрушения стены имеет значительное соответствие с гипотетическими конусами напряжения. Образование трещин произошло при Кайрак-Кумском землетрясении в Таджикистане в октябре 1985 г.

В работе для демонстрации общих положений рассматривается формирование напряженных зон только при простой круглой форме штампа, для других форм, особенно вытянутых и сложных, формирование зон обуславливается определенными особенностями, которые в целом не выходят за рамки установленной закономерности.

Как указано выше, в твердом теле под действием площадной силы образуется в том числе конус напряжения, ответственный за формирование высоконапряженных зон.

Внутри конуса напряжения образовываются силовые «воронки», вставленные одна в другую, форма которых соответствует форме приложенного штампа.

 

Проводимые на гипотетических моделях с плотнейшей упаковкой частиц построения (Рис. 4) показывают, что на перпендикулярное сечение конуса напряжения диаметром (размером) dh и площадью Sh, расположенное на расстоянии h от плоскости штампа диаметром D и площадью S к которой приложена сила P, передается сила Р kh - часть силы Р, приложенной к площади кольца Skh равной:

Skh = πd (D - d), (1)

Площадь сечения конуса Sh на расстоянии h от места приложения силы (основания конуса) имеет величину:

Sh = (2)

Сила Pkh определяется соотношением:

Pkh = 2P (3)

Величину напряжения τ на плоскости сечения Sh можно оценить формулой:

(4)

В работе не рассматривается взаимоотношение конуса и окружающей части твердого тела, которые, безусловно, вносят свои незначительные коррективы в уровень напряжения внутри конуса.

На основе вышеизложенного определим изменение величины напряжения τ в конусе напряжения от основания к вершине при неизменных нагрузке и величине штампа.

Принимаем что:

Общая нагрузка на штамп Р=10 кг; диаметр штампа D=10 см; высота усредненного конуса Н=10 см; расстояние от основания конуса напряжения до принятых сечений h =2 cм, h =4 см, h =6 см, h =8 см, диаметры сечений соответственно d =7,9 см, d =5,9 см, d =3,9 см, d =1,9 см; удельная нагрузка в месте приложения штампа Р=0,127 кг/см².

Полученные результаты сведены в таблицу № 2.

Таблица № 2

 

H,см	D,см	τ,кг/см²
0	10	0,127
2	7,9	0,134
4	5,9	0,187
6	3,9	0,398
8	1,9	1,086

 

 

 

Приведенные результаты свидетельствуют о закономерности, указывающей на то, что при воздействии внешней силы на тело или часть его в образующемся от места приложения силы конусе напряжения от основания к вершине напряженное состояние материала лавинообразно повышается.

Сравнение графика (рис. 5) с результатами таблицы № 2 с полученной в результате одноосного сжатия до разрушения породного образца пирамидой, показывает на существенное согласование поведения кривой напряжения и характером разрушения пирамиды.

 

 

 

 

 

 

 

 

На рис. 5 видно, что материал у вершины перетерт, ближе к основанию произошел отрыв. В пирамиде на рис. «перетертый» участок заштрихован.

Рассмотрим изменение величины силы Р h, действующей на постоянную площадь плоскости Sh и напряжение в этой плоскости τ, при изменении площади основания конуса напряжения D, но при постоянной удельной силе ∆Р, действующей на это основание.

Принимаем:

∆Р = 1кг/см², Sh = 5 см², d = 2,52 см,

D = 3 см, D = 5 см, D = 10см, D = 50 см,

тогда: Р = 7,06 кг, Р = 19,62 кг, Р = 78,50 кг, Р = 1962,50 кг.

Полученные результаты сведены в таблицу № 3

Таблица № 3

 

D, см	Ph, кг	τ, кг/см²
3 5 10 50	5,08 9,61 29,59 187,84	1,01 1,91 5,91 37,56

 

 

 

Из полученных результатов следует, что сила Ph и напряжение τ на плоскости сечения конуса имеющей постоянную площадь Sh, с увеличением площади основания конуса напряжения, при постоянной величине удельной силы ∆Р, увеличиваются. Из этого истекает закономерность, заключающаяся в том, что при воздействии внешней силы на тело или часть его, чем больше площадь, к которой приложена внешняя сила, тем при меньшей ее удельной величине достигается критическое напряжение в разрушаемом теле, всегда одинаковое для тел, состоящих из одного исходного материала независимо от размеров этих тел.

Работа выполнена в ООО «Индустрия Юга» (Таганрог).

Библиографический список:

1. Вутукури В.С. и др. Справочник по механическим свойствам горных пород. Том 1. Техника и результаты испытаний. М. Всесоюзный центр переводов научно-технической литературы и документации, 1976 г.

2. Глушков В.Т., Ширков А.З. Механика горных пород и охрана выработок. Киев. Наукова Думка, 1967 г.

3. Грязнов Т.А. Оценка показателей свойств пород полевыми методами. М., Недра,1984 г.

4. Зайцев Ю.В. Новое в строительной науке. М., Знание, 1986 г.

5. Заруба К., Менул В. Инженерная геология. М., Мир, 1979 г.

6. Земля. Введение в общую геологию 2. М. Мир, 1974 г.

7. Исследование механических свойств горных пород Донецкого бассейна. ДонУГИ. М., Харьков, Углетехиздат, 1951 г.

8. Кирничанский Г.Т. и др. К вопросу о разрушении горных пород. Прикл. Механика. 1986 г. Том 22, № 4.

9. Клюшников В.Д. Лекции по устойчивости деформируемых систем. Учебное пособие. Издательство Московского университета, 1986 г.

10. Левин С.В. Механика грунтов. М., Недра, 1964 г.

11. Леггет Р. Города и геология. М., Мир, 1967 г.

12. Месчан С.Р. Механические свойства грунтов и лабораторные методы их определения. М., Недра, 1974 г.

13. Механика разрушения горных пород. Сборник статей. Выпуск 1. М. Недра. 1969 г.

14. Проблемы инженерной геологии. Сборник статей. Выпуск 2. М. Издательство иностранной литературы. 1960 г.

15. Проблемы инженерной геологии. Сборник статей. Выпуск 4. М. Мир, 1967 г.

16. Рычагов А.М. Определение прочности и деформатиности грунтов в строительстве. Киев. Издательство «Буд iвельник», 1976 г.

17. Спенсер Э.У. Введение в структурную геологию. Ленинград, Недра, 1981 г.

18. Спивак А.И. Механика горных пород. М. Недра, 1976 г.

19. Стенин П.А. Сопротивление материалов. М., Высшая школа. 1988 г.

20. Усаченко Б.М. и др. К расчету на прочность элементов подземных сооружений. Прикл. Механика, 1986 г., т. 22, № 7.

Бондарев П.М. О поведении волны в прибрежной зоне и на мелководье. Ростов-на-Дону, Ростовский Гос. Университет. Издательство СКНЦ ВШ, 199